# 5.Cloth Simulation\_冲突文件\_zkx\_20240828215918

布料模拟 二维的面在三维中展开的状态

* A Mass-Spring System
  * Explicit Integration
  * Implicit Integration
* Bending and Locking Issues
* Shape matching

#### A Mass Spring System

弹簧质点系统

一个理想的弹簧， 胡克定律：试图恢复原状，拉的越长力越大 F = kx 拉越长能量越大

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081656755.png)

xi 的能量是各个弹簧的能量累加

![](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081702977.png)

#### Structured Spring Networks

结构化表示弹簧网络

假设衣物是结构化的

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081704368.png)

右边是更优化的，能够减少很多弹簧

不规则的弹簧连接

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081730710.png)

利用内部边的对角构建抗弯曲的弹簧

通过 Vertex list 和 Triangle list 信息生成弹簧

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081735325.png)

不能直接拿三角形边的信息，因为会有重复边

构建 Triple list，删除重复数据，用排序的方式删除 同时生成内部边的垂直弹簧

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081736237.png)

显示积分更新所有质点信息

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081806639.png)

显示积分的弊端 如果时间步长太大，第二次模拟质点会过远，并超过之前的绝对值

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081823120.png)

隐式积分 Implicit Integration

在当前时刻 f \[1] 是不知道的

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081835854.png)

holonomic 只和位置有关系的力 把 f 写成 f(x\_1)，不是线性的力

认为 x\[1] 是 F(x) 的最小值 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081846821.png)

这个隐式积分做法是把数值解转化为解析解，目标是求得 x\_1 ，认为在 x\_1 处，对于力的函数的求导为 0，也就是弹簧能够平衡的位置，以此来更新速度。

认为下一帧的 x 一定是受力平衡点，以此来求得能够达到目标点的速度。而不是显示积分，通过时间步长，由受力推出速度。

但是由一阶导数式反推出 F(x) 很难，这边是已经知道了

Newton-Raphson Method 牛顿法 数值解逼近目标值，利用一阶的泰勒展开

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081911816.png)

一阶导为 0 可能是最大值或最小值，此时看二阶导

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081935397.png)

只能找到局部最小值，local minimal ，没有什么好的方法找到全局最小值。 限定二阶导永远大于 0，可以限定只有一个最小值。

三维的牛顿法 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081951516.png)

用牛顿迭代法来求 x\_1

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306081956282.png)

非线性优化问题，各种解各种物理系统的核心

弹簧系统的 Hessian

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306082015661.png)

弹簧的 Hessian 矩阵是弹簧 F(x) 的二阶导

在拉伸的时候，它是正定的，表示其有唯一解

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306082013014.png)

挤压上不正定，可能有各种状态

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306082017005.png)

用 Jacobi 方法多次迭代

![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306082024858.png)

Jacobi 可以用 GPU 加速


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