> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://okzkx.gitbook.io/blogs/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://okzkx.gitbook.io/blogs/game-tech/engine/model/animation/games103-ji-yu-wu-li-de-ji-suan-ji-dong-hua-ru-men/2.-math-background-vector-matrix-and-tensor-calculus.md). # Vector ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061824331.png) 左手系统有个好处，当屏幕看作最前方时，所有的物体的坐标都是正值 stack vector ，描述一个几何体，也可以没什么含义 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061826954.png) 向量加减法 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061827130.png) 向量、点、t 描述粒子的线性运动或者线段或者插值 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061833444.png) 向量长度 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061835005.png) 生成单位向量 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061836768.png) 点积 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061837965.png) 求模和判断是否平行 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061904572.png) 投影 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061917160.png) 判断点 p 与平面 cn 的关系 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061928735.png) 粒子运动轨迹和圆的碰撞 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061930170.png) 叉积 * 垂直，面积 * 相反 * 分配律 * 平行判定 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061933044.png) 计算三角形的法线和面积 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061935887.png) 判断点是否在三角形里面 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061945500.png) ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061947014.png) 重心坐标，重心坐标插值 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061955026.png) Gouraud Shading 重心坐标插值 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306061958432.png) 9. 四面体体积计算 Tetrahedral ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062000954.png) 也可以写成 4 \* 2 的行列式 负体积的四面体 x3 和底面 normal 同侧为正体积 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062002762.png) 四面体的重心坐标 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062003528.png) 粒子 P 点和三角形是否发生碰撞 1. P 和三角形组成的四面体体积为 0 时， P 和三角形所在平面发生碰撞 2. P 点要处在三角形中 ## Matrix 矩阵 Definition 定义 * Transpose 转置 * Diagonal 对角 * Identity 单位 * Symmetric 对称 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062011679.png) Multiplication 矩阵乘法 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062014474.png) Orthogonality 正交矩阵 由正交向量构成，即都是单位向量，并且它们之间线性无关。 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062015947.png) 正交矩阵的逆为它转置 Transformation 可以使用正交矩阵来表示旋转 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062019063.png) *旋转矩阵就是局部坐标在世界空间中的表示 LocalToWorld Matrix* 对角矩阵可以表示三方向的缩放 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062021104.png) Singular Value Decomposition 奇异值分解 在图形学上的解释，对于任意方向的旋转缩放操作，写成的矩阵。可以分解为 旋转到特定方向的正交矩阵 + 三方向缩放的对角矩阵 + 再次旋转的正交矩阵 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062026695.png) Eigenvalue Decomposition 特征值分解 在图形学上的解释。对于任意的对称矩阵，可以分解为 旋转到特定方向的正交矩阵 + 特定方向缩放的对角矩阵 + 反向旋转回原方向的正交矩阵。其中对角矩阵里的值就是特征值 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062033531.png) Symmetric Positive Definiteness 对称且正定 s.p.d 矩阵被任意向量两边乘后的标量大于 0 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062040615.png) 正定矩阵的特征值都大于 0 更广的判定方法是对角占优的矩阵也是正定矩阵 正定矩阵都是可逆的 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306062043802.png) 如果 A 是对称且正定的，那么 B 是对称且半正定的 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071020024.png) ## Linear Solver 线性问题 求解 x ，其中 A 是矩阵，b 是边界条件 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071041575.png) 最直观的解法是求 A 的逆矩阵，还有直接法和迭代法 Direct Linear Solver 直接法，LU 分解 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071047010.png) 如果 A 是稀疏的，LU 不一定稀疏 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071052057.png) Iterative LInear Solver 迭代法逼近 系数 \* 迭代矩阵 \* 残差 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071059865.png) 迭代法 M 需要容易求解，可逆 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071101566.png) 1. 简单 2. 不要求精确解 3. 容易并行 4. 需要有收敛性 5. 速度慢 Tensor Calculus 一阶导 1st-Order Derivatives 对向量的求导，求偏导 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071341699.png) 梯度 ：gradient 方向，等高线的最快上升方向，上升速度 一阶导拓展 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071345364.png) * 雅可比矩阵 ： Jacobian * 散度：Divergence，雅可比矩阵对角和 * 旋度：Curl 二阶导 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071350913.png) Hessian 的对角是拉普拉斯，注意符号 Taylor Expansion 泰勒展开 对 x0 进行泰勒展开，即 x0 处的值 + 不断地使用梯度逼进 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071354672.png) 对称且正定在这的二阶项说明二阶项一定是正的 向量模长对向量的求导，即向量长度的梯度，即沿着向量方向的单位向量 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071359887.png) ## 弹簧 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071409408.png) H 矩阵是 Tangent stiffness 胡可系数 弹簧对 x 的方程是能量 对 x 的一阶导结果是力， 对 x 的二阶导是胡可系数，力函数的切向量。 两个点的弹簧 ![image.png](https://image-1253155090.cos.ap-nanjing.myqcloud.com/202306071419100.png)